Aplicación de las diferentes teorías de falla al diseño de elemento.

 Las teorías de falla son herramientas fundamentales en el diseño de componentes mecánicos. Permiten predecir el inicio de la falla en un material bajo diferentes condiciones de carga y, por lo tanto, asegurar que un diseño sea seguro y confiable.

¿Cómo se aplican las teorías de falla en el diseño?

1. Análisis de tensiones:

   • Se determina el estado de tensión en un punto crítico del componente mediante análisis estructural (por ejemplo, utilizando elementos finitos).
   • Se calculan los esfuerzos principales o los invariantes de tensión.

2. Selección de la teoría de falla:

   • Se elige la teoría de falla adecuada en función del material (dúctil o frágil) y las condiciones de carga.
   • Para materiales dúctiles, se suelen utilizar las teorías de von Mises o Tresca.
   • Para materiales frágiles, se utilizan teorías como Mohr-Coulomb o Rankine.

3. Comparación con los criterios de falla:

   • Se comparan los valores calculados de los esfuerzos con los valores límite permitidos por la teoría de falla seleccionada.
   • Si los esfuerzos calculados exceden los valores límite, se debe modificar el diseño.

Ejemplo de aplicación: Diseño de un eje de transmisión

Supongamos que se desea diseñar un eje circular de acero para transmitir un par torsor. Los pasos a seguir serían:

1. Cálculo de los esfuerzos:
   • Se calcula el esfuerzo cortante máximo en la sección del eje debido al par torsor.
2. Selección de la teoría de falla:
   • Dado que el acero es un material dúctil, se puede utilizar la teoría de von Mises o Tresca.
3. Comparación con el límite elástico:
   • Se compara el esfuerzo cortante máximo calculado con el límite elástico a cortante del material. Si el esfuerzo calculado es menor que el límite elástico, el diseño es seguro.

Factores a considerar en el diseño

• Tipo de material: Las propiedades mecánicas del material, como el límite elástico, la ductilidad y la resistencia a la fatiga, influyen en la elección de la teoría de falla.
• Tipo de carga: Cargas estáticas, dinámicas, cíclicas, etc.
• Concentración de tensiones: Presencia de agujeros, entalladuras o cambios bruscos de sección que pueden aumentar los esfuerzos locales.
• Temperatura: La temperatura puede afectar las propiedades mecánicas del material.
• Factor de seguridad: Se aplica un factor de seguridad para garantizar que el diseño sea seguro y confiable.

1. Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo (Criterio de Tresca)

• Aplicación: Esta teoría se utiliza principalmente para materiales dúctiles. Se aplica en el análisis de estructuras sometidas a cargas que pueden generar esfuerzos cortantes significativos. Por ejemplo, en el diseño de vigas y columnas, se evalúa el esfuerzo cortante máximo para asegurar que no se alcance el límite de fluencia del material.
• Ejemplo Práctico: En la construcción de puentes, los ingenieros calculan los esfuerzos cortantes en las vigas bajo cargas dinámicas (como el tráfico) para garantizar que no se produzcan fallas por fluencia.

2. Teoría del Esfuerzo Normal Máximo (Teoría de Rankine)

• Aplicación: Esta teoría es más adecuada para materiales frágiles y se utiliza en situaciones donde los esfuerzos normales son predominantes. Se aplica en el diseño de elementos como muros y columnas, donde es crucial evaluar tanto la resistencia a la compresión como a la tracción.
• Ejemplo Práctico: En el diseño de muros de contención, se verifica que los esfuerzos normales no superen la resistencia a la compresión del material, asegurando que no ocurran fallas por compresión.

3. Teoría de la Energía de Distorsión (Criterio de Von Mises)

• Aplicación: Esta teoría es fundamental para evaluar la falla en materiales dúctiles bajo condiciones complejas de carga. Se utiliza en el análisis de estructuras donde los esfuerzos combinados pueden llevar a la deformación plástica.
• Ejemplo Práctico: En el diseño de componentes mecánicos, como ejes y engranajes, se utiliza este criterio para calcular el esfuerzo equivalente y determinar si el componente puede soportar las cargas aplicadas sin fallar.

4. Teoría de Coulomb-Mohr

• Aplicación: Esta teoría es útil para materiales frágiles y se aplica en situaciones donde se deben considerar tanto los esfuerzos normales como los cortantes. Es especialmente relevante en geotecnia y construcción civil.
• Ejemplo Práctico: En el diseño de cimentaciones y estructuras subterráneas, se evalúa la interacción entre los esfuerzos cortantes y normales para asegurar que no se produzcan fallas por deslizamiento o fractura.

Ejercicio 1: Determinación del Esfuerzo Máximo en una Viga

Enunciado:
Para una viga simplemente apoyada de longitud $L=7.3\text{m}$, con una carga puntual de $4000\text{N}$ y una carga distribuida de $3000\text{N m}$, determinar los esfuerzos normales y cortantes en las secciones con posiciones $x=1\text{m},x=4\text{m},x=5\text{m}$ y $x=7\text{m}$.Solución:

1. Cálculo de las reacciones en los apoyos:
   • Resolviendo las ecuaciones de equilibrio: Suma de fuerzas verticales (
2. Esfuerzos en cada sección:
   • En $x=1$:
     $$M_1=VA\cdot x_1=2800\cdot 1=2800\text{N m}$$
   • En $x=4$:
     $$M_2=VA\cdot x_2-(3000)(x_2{)}^2\mathrm{/}2$$
     Sustituyendo:
     $$M_2=2800(4)-(3000)(4{)}^2\mathrm{/}2=11200-24000=-12800\text{N m}$$
   Continuar el procedimiento para las demás secciones.

Resultado: Los esfuerzos normales y cortantes se obtienen para cada posición indicada.

Ejercicio 2: Análisis de una Viga con Carga Triangular

Enunciado:
Para una viga simplemente apoyada sometida a una carga distribuida triangular que varía desde $w=0$ en un extremo hasta $w_{\max }=10\text{kN m}$ en el otro extremo ($L=6\text{m}$), calcular:

• Las reacciones en los apoyos.
• Dibujar los diagramas de fuerza cortante y momento flector.

Solución:

1. Cálculo de las reacciones:
   • La carga equivalente es:
     $$R_{\text{equiv}}=\frac{1}{2}{w}_{\max }L=\frac{1}{2}(10)(6)=30\text{kN}$$
   • El punto de aplicación está a $L\mathrm{/}3=2\text{m}$ desde el extremo mayor.
   Aplicando equilibrio:
   $$R_A+R_B=R_{\text{equiv}}$$
   $$M_A:R_B(6)-R_{\text{equiv}}(4)=0$$
   Resolviendo:
   $$R_B=20\text{kN},R_A=10\text{kN}$$
2. Diagrama de Fuerza Cortante:
   Integrar la carga distribuida para obtener la fuerza cortante a lo largo de la viga.
3. Diagrama de Momento Flector:
   Integrar el diagrama de fuerza cortante para obtener el momento flector.

Ejercicio 3: Evaluación del Factor de Seguridad con Teoría de Coulomb-Mohr

Enunciado:
Un material frágil tiene una resistencia a la tracción $S_{ut}=100\text{MPa}$ y a compresión $S_{uc}=-200\text{MPa}$. Bajo un estado tensional tridimensional, los esfuerzos principales son:

• ${\sigma }_1=80\text{MPa},{\sigma }_3=-150\text{MPa}\mathrm{.}$

Determinar si el material falla usando la teoría de Coulomb-Mohr y calcular el factor de seguridad.Solución:

1. Condiciones de Falla según Coulomb-Mohr:
   Verificar:
   $$\mathrm{\mid }{\sigma }_1\mathrm{\mid }<S_{ut},\mathrm{\mid }{\sigma }_3\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }{S}_{uc}\mathrm{\mid }$$
   Sustituyendo:
   $$\mathrm{\mid }{\sigma }_1\mathrm{\mid }=80<S_{ut}(100),\mathrm{\mid }{\sigma }_3\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-150\mathrm{\mid }<\mathrm{\mid }{S}_{uc}\mathrm{\mid }(200)$$
   Ambas condiciones se cumplen.
2. Factor de Seguridad:
   Para tracción:
   $$F{S}_t=\frac{S_{ut}}{{\sigma }_1}=\frac{100}{80}=1.25$$
   Para compresión:
   $$F{S}_c=\frac{\mathrm{\mid }{S}_{uc}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }{\sigma }_3\mathrm{\mid }}=\frac{200}{150}=1.33$$

Resultado: No hay falla; el factor de seguridad más bajo es 1.25. Estos ejercicios ilustran cómo aplicar teorías como Coulomb-Mohr y análisis estructural básico para evaluar la resistencia y seguridad en materiales y estructuras.

bibliografía: portal.camins.upc.edu/materials_guia/250120/2012/Problemas resueltos.pdf 

repositoriotec.tec.ac.cr/bitstream/handle/2238/268/ProyectoCompleto.pdf