teorías de falla para materiales dúctiles. 

Un material es dúctil si más del 5% de deformación antes de la fractura. En los materiales dúctiles se considera que la falla se presenta cuando el material empieza afluir o también cuando ocurre la falla por deformación. 

Teoría del esfuerzo normal máximo.

La Teoría del Esfuerzo Normal Máximo, también conocida como Teoría de Rankine, es un criterio de falla utilizado principalmente para materiales frágiles, aunque también se aplica a algunos materiales dúctiles. Esta teoría establece que la falla de un material ocurre cuando el esfuerzo normal máximo en un punto alcanza un valor crítico, independientemente de los otros esfuerzos presentes.

¿Que dice?

“La falla se producirá cuando el esfuerzo normal máximo en la pieza sea igual o mayor al esfuerzo normal máximo de una probeta sometida a un ensayo de tensión en el momento que se produce la fractura” 

Principios Fundamentales

• Esfuerzo Principal: La teoría se centra en los esfuerzos principales, que son las tensiones máximas y mínimas que actúan en un material. Se considera que la falla se producirá si:
  • El esfuerzo principal más positivo supera la resistencia a la tracción ($S_{ut}$).
  • El esfuerzo principal más negativo supera la resistencia a la compresión ($S_{uc}$).
• Condiciones de Falla: Matemáticamente, se expresa como:
  $${\sigma }_{max}\ge S_{ut}\text{o}{\sigma }_{min}\le -S_{uc}$$
  donde ${\sigma }_{max}$ es el esfuerzo principal máximo y ${\sigma }_{min}$ es el esfuerzo principal mínimo

Ejercicios propuestos y resueltos. 

La Teoría del Esfuerzo Normal Máximo, o teoría de Rankine, es utilizada para evaluar la falla en materiales frágiles. 

Ejercicio 1 Cálculo del Factor de Seguridad

Datos:

• Resistencia a la tracción ($S_{ut}$): 100 MPa
• Resistencia a la compresión ($S_{uc}$): 200 MPa
• Esfuerzo principal máximo (${\sigma }_1$): 80 MPa
• Esfuerzo principal mínimo (${\sigma }_3$): -150 MPa

Solución:

1. Verificar si ${\sigma }_1$ supera $S_{ut}$:
   $${\sigma }_1=80\text{ MPa}<S_{ut}=100\text{ MPa}\text{ No falla por tracci n }$$
2. Verificar si ${\sigma }_3$ supera $S_{uc}$:
   $${\sigma }_3=-150\text{ MPa}<S_{uc}=200\text{ MPa}\text{ No falla por compresi n }$$
3. Calcular el factor de seguridad para ambos casos:
   • Para tracción:
   $$F{S}_t=\frac{S_{ut}}{{\sigma }_1}=\frac{100}{80}=1.25$$
   • Para compresión:
   $$F{S}_c=\frac{S_{uc}}{-{\sigma }_3}=\frac{200}{150}=1.33$$

Resultado: El factor de seguridad es $F{S}_t=1.25$ y $F{S}_c=1.33$.

Ejercicio 2: Determinación de la Falla

Datos:

• Resistencia a la tracción ($S_{ut}$): 150 MPa
• Resistencia a la compresión ($S_{uc}$): 300 MPa
• Esfuerzos principales:
  • ${\sigma }_1=160$ MPa (tensión)
  • ${\sigma }_2=-50$ MPa (compresión)

Solución:

1. Evaluar el esfuerzo máximo:
   • Comparar con $S_{ut}$:
   $${\sigma }_1=160>S_{ut}=150\text{ Falla por tracci n }$$
2. Comparar el esfuerzo mínimo:
   • Comparar con $S_{uc}$:
   $${\sigma }_2=-50>S_{uc}=-300\text{ No falla por compresi n }$$

Resultado: La pieza falla debido a que el esfuerzo principal máximo supera la resistencia a la tracción.

Ejercicio 3: Análisis de Estado Tensional

Datos:

• Esfuerzos principales en un estado biaxial:
  • ${\sigma }_1=120$ MPa (tensión)
  • ${\sigma }_2=30$ MPa (compresión)
• Resistencia a la tracción ($S_{ut}$): 200 MPa

Objetivo:
Determinar si hay falla en el material utilizando la Teoría del Esfuerzo Normal Máximo (Teoría de Rankine).

Solución:

1. Evaluar el esfuerzo máximo:
   • Comparar el esfuerzo principal máximo con la resistencia a la tracción:
   $${\sigma }_1=120\text{ MPa}<S_{ut}=200\text{ MPa}$$
   Esto indica que no hay fallo por tracción.
2. Evaluar el esfuerzo mínimo:
   • Comparar el esfuerzo principal mínimo con la resistencia a la compresión. Para materiales frágiles, se considera que no hay fallo si ambos esfuerzos están por debajo de los límites:
   $${\sigma }_2=30\text{ MPa}<S_{uc}\text{ donde }{S}_{uc}\text{ es la resistencia a la compresi n }$$
   Si no se proporciona $S_{uc}$, asumimos que es mayor que $30$ MPa para este ejercicio.
3. Conclusión:
   • Dado que el esfuerzo máximo no supera la resistencia a la tracción y el esfuerzo mínimo está dentro de los límites permisibles de compresión, se concluye que no hay falla en este estado tensional.

Estos ejercicios ilustran cómo aplicar la Teoría del Esfuerzo Normal Máximo para determinar factores de seguridad y evaluar condiciones de falla en materiales frágiles.

Teoria del esfuerzo cortante máximo.

 Dicha teoría establece que la fluencia de los materiales se debe al esfuerzo cortante. Además, dice que “la falla se producirá cuando el esfuerzo cortante máximo absoluto en la pieza sea igual o mayor al esfuerzo cortante máximo absoluto de una probeta sometida a un ensayo de tensión en el momento que se produce la fluencia”.

Es importante recordar que el máximo valor del esfuerzo cortante bajo una carga axial céntrica es igual a la mitad del valor del esfuerzo axial correspondiente, se concluye que el esfuerzo cortante máximo en una prueba de tensión σ_y  /2 cuando la probeta empieza a fluir.

  En forma de ecuación, esta teoría se puede expresar como:

simplificando  σ₁ – σ₂₌ σ_u; donde σ₁ y σ₂ son los esfuerzos principales en un punto dado.

Aplicaciones

1. Materiales Dúctiles: Este criterio es especialmente útil para materiales que exhiben deformación plástica antes de fallar, como metales.
2. Diseño Estructural: Se utiliza en el diseño estructural para garantizar que los componentes no fallen bajo cargas aplicadas, evaluando los esfuerzos en puntos críticos.
3. Análisis de Estados Tensionales: Se aplica para analizar estados tensionales complejos en estructuras y componentes mecánicos.

Limitaciones

• Diferencias en Signo: El criterio asume que no habrá fallo si los esfuerzos principales tienen signos opuestos. Sin embargo, si ambos esfuerzos tienen el mismo signo, puede haber situaciones donde la teoría no sea aplicable sin modificaciones.
• Comparación con Otras Teorías: Aunque útil, la teoría de Tresca puede ser menos precisa que otros criterios como el de Von Mises en ciertas condiciones.

Ejercicio 1: Cálculo del Esfuerzo Cortante Máximo

Datos:

• Esfuerzos principales:
  • ${\sigma }_1=150$ MPa
  • ${\sigma }_2=50$ MPa
  • ${\sigma }_3=0$ MPa
• Límite de fluencia a tracción ($S_{ut}$): 300 MPa

Objetivo:
Determinar si el material falla y calcular el esfuerzo cortante máximo.Solución:

1. Calcular el esfuerzo cortante máximo:
   $${\tau }_{\text{m x}}=\frac{1}{2}\max \{\mathrm{\mid }{\sigma }_1-{\sigma }_2\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }{\sigma }_2-{\sigma }_3\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }{\sigma }_3-{\sigma }_1\mathrm{\mid }\}$$
   • Calcular las diferencias:
     • $\mathrm{\mid }{\sigma }_1-{\sigma }_2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }150-50\mathrm{\mid }=100$ MPa
     • $\mathrm{\mid }{\sigma }_2-{\sigma }_3\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }50-0\mathrm{\mid }=50$ MPa
     • $\mathrm{\mid }{\sigma }_3-{\sigma }_1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }0-150\mathrm{\mid }=150$ MPa
   • Entonces,
   $${\tau }_{\text{m x}}=\frac{1}{2}\max (100,50,150)=\frac{1}{2}(150)=75\text{ MPa}$$
2. Comparar con el esfuerzo cortante crítico:
   • El esfuerzo cortante crítico es:
   $${\tau }_{\text{cr tico}}=\frac{S_{ut}}{2}=\frac{300}{2}=150\text{ MPa}$$
   • Comparar:
   $${\tau }_{\text{m x}}<{\tau }_{\text{cr tico}}(75<150)$$

Resultado: No hay falla en el material.

Ejercicio 2: Evaluación de Factor de Seguridad

Datos:

• Esfuerzos principales:
  • ${\sigma }_1=200$ MPa
  • ${\sigma }_2=100$ MPa
  • ${\sigma }_3=-50$ MPa
• Límite de fluencia a tracción ($S_{ut}$): 250 MPa

Objetivo:
Calcular el factor de seguridad utilizando el criterio de Tresca.Solución:

1. Calcular el esfuerzo cortante máximo:
   $$\mathrm{\mid }{\sigma }_1-{\sigma }_2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }200-100\mathrm{\mid }=100\text{ MPa}$$
   $$\mathrm{\mid }{\sigma }_2-{\sigma }_3\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }100+50\mathrm{\mid }=150\text{ MPa}$$
   $$\mathrm{\mid }{\sigma }_3-{\sigma }_1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-50-200\mathrm{\mid }=250\text{ MPa}$$
   Entonces,
   $${\tau }_{\text{m x}}=\frac{1}{2}(250)=125\text{ MPa}$$
2. Calcular el esfuerzo cortante crítico:
   $${\tau }_{\text{cr tico}}=\frac{S_{ut}}{2}=\frac{250}{2}=125\text{ MPa}$$
3. Calcular el factor de seguridad:
   El factor de seguridad se calcula como:
   $$FS=\frac{{\tau }_{\text{cr tico}}}{{\tau }_{\text{m x}}}=\frac{125}{125}=1$$

Resultado: El factor de seguridad es $FS=1$, indicando que el material está en el límite de falla. Estos ejercicios ilustran cómo aplicar la Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo para evaluar la resistencia y seguridad de materiales bajo cargas específicas. 

teoría de la energía de distorsión. 

La teoría de la energía de distorsión es una teoría de falla que se usa para predecir la falla de un material resistente. Se basa en la suposición de que la proporción de energía que causa que un componente cambie de forma es un factor crucial en relación con el esfuerzo del material. Esta teoría predice que la falla por fluencia ocurre cuando la energía de deformación total por unidad de volumen alcanza o excede la energía de deformación por unidad de volumen correspondiente a la resistencia a la fluencia en tensión o en compresión del mismo material. 

La teoría de la energía de la distorsión se originó debido a que se comprobó que los materiales dúctiles sometidos a esfuerzos hidrostáticos (de igual tensión o compresión), presentan resistencia la fluencia que exceden en gran medida los valores que resultan del ensayo de tensión simple. Por lo tanto, se postuló que la fluencia no era un fenómeno de tensión o compresión simples, sino más bien, que está  relacionada de alguna manera con la distorsión angular del elemento esforzado. Ahora bien, una de las primeras teorías de la falla afirmada que la fluencia se inicia cuando la energía total de deformación, almacenada en el elemento esforzado, llega a ser igual a la energía elástica que hay en un elemento contenido en la probeta de tensión en el punto de cadencia.

• Energía de Distorsión: Esta energía se refiere al trabajo realizado por las fuerzas externas que provoca cambios en la forma del material sin cambiar su volumen. Se puede expresar matemáticamente como:
  $${\tau }_{vonMises}=\sqrt{\frac{1}{2}(({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_1-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2)}$$
  donde ${\sigma }_1$, ${\sigma }_2$ y ${\sigma }_3$ son las tensiones principales.

Condiciones de Falla

• La condición para que no haya falla según el criterio de Von Mises se expresa como:
  $${\tau }_{vonMises}<S_y$$
  donde $S_y$ es el límite de fluencia a tracción del material.

Cálculo del Factor de Seguridad

El factor de seguridad se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

$$n_s=\frac{S_y}{{\tau }_{vonMises}}$$

Esta expresión es válida para cualquier signo de las tensiones principales.

Aplicaciones

1. Materiales Dúctiles: El criterio de Von Mises es especialmente aplicable a materiales dúctiles, que pueden experimentar deformación plástica antes de fallar.
2. Diseño Estructural: Se utiliza en el diseño estructural para garantizar que los componentes no fallen bajo cargas aplicadas, evaluando los esfuerzos en puntos críticos.
3. Análisis de Estados Tensionales: Se aplica para analizar estados tensionales complejos en estructuras y componentes mecánicos.

   Ejercicio 1: Cálculo del Esfuerzo de Von Mises

   Datos:
   • Esfuerzos principales: MPa
   • Límite de fluencia a tracción ($S_{ut}$): 200 MPa
   Objetivo:
   Calcular el esfuerzo de Von Mises y determinar si el material falla.Solución:
   1. Calcular el esfuerzo de Von Mises:
      $${\sigma }_{\text{vonMises}}=\sqrt{\frac{1}{2}(({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2)}$$
      • Sustituyendo los valores:
      $${\sigma }_{\text{vonMises}}=\sqrt{\frac{1}{2}((100-50{)}^2+(50-0{)}^2+(0-100{)}^2)}$$
      $$=\sqrt{\frac{1}{2}(2500+2500+10000)}=\sqrt{\frac{15000}{2}}=\sqrt{7500}\approx 86.6\text{ MPa}$$
   2. Comparar con el límite de fluencia:
      • Dado que $86.6<200$ MPa, no hay falla.
   Resultado: El esfuerzo de Von Mises es aproximadamente 86.6 MPa, y no hay falla en el material.

   Ejercicio 2: Evaluación del Factor de Seguridad

   Datos:
   • Esfuerzos principales: MPa
   • Límite de fluencia a tracción ($S_{ut}$): 300 MPa
   Objetivo:
   Calcular el esfuerzo de Von Mises y el factor de seguridad.Solución:
   1. Calcular el esfuerzo de Von Mises:
      $${\sigma }_{\text{vonMises}}=\sqrt{\frac{1}{2}((250-100{)}^2+(100+50{)}^2+(-50-250{)}^2)}$$
      • Sustituyendo los valores:
      $$=\sqrt{\frac{1}{2}((150{)}^2+(150{)}^2+(-300{)}^2)}=\sqrt{\frac{1}{2}(22500+22500+90000)}=\sqrt{\frac{135000}{2}}=\sqrt{67500}\approx 259.8\text{ MPa}$$
   2. Calcular el factor de seguridad:
      $$FS=\frac{S_{ut}}{{\sigma }_{\text{vonMises}}}=\frac{300}{259.8}\approx 1.15$$
   Resultado: El esfuerzo de Von Mises es aproximadamente 259.8 MPa, y el factor de seguridad es 1.15, indicando que el material está cerca del límite de falla. Estos ejercicios ilustran cómo aplicar la Teoría de la Energía de Distorsión para evaluar la resistencia y seguridad de materiales bajo cargas específicas.

Bibliografía: Teoria de La Energia de Distorsion | PDF | Estrés (Mecánica) | Deformación (Mecánica)

Criterios De Falla