Teorías de fallas para materiales frágiles. 

Teoría de coulomb-mohr y teoría de Mohr modificada. 

Teoría de Coulomb-Mohr

Principios Fundamentales

• Descripción: La teoría de Coulomb-Mohr establece que la falla de un material frágil ocurre cuando la combinación de esfuerzos normales y cortantes alcanza un límite crítico. Este criterio es especialmente útil en situaciones donde la resistencia a la compresión es significativamente mayor que la resistencia a la tracción.
• Condiciones de Falla: Para que un material resista, deben cumplirse las siguientes condiciones:
  1. El esfuerzo normal máximo debe ser menor que la resistencia a la tracción:
     $${\sigma }_1<S_{ut}$$
  2. El esfuerzo normal mínimo debe ser mayor que la resistencia a la compresión:
     $${\sigma }_3>-S_{uc}$$
  3. La relación entre los esfuerzos debe cumplir:
     $${\sigma }_1\cdot \frac{S_{uc}-S_{ut}}{S_{uc}\cdot S_{ut}}-\frac{{\sigma }_3}{S_{uc}}<1$$

Aplicaciones

El modelo busca describir la respuesta de un materiales material sometido a esfuerzos cortantes y normales; con el fin de determinar

De que trata?

Son un grupo de ecuaciones lineales que describen las condiciones para las que un material isotrópico falla. Este criterio es recomendable aplicarlo cuando el esfuerzo de falla a compresión sea mayor que a tensión, como es el caso de los ya mencionados materiales cerámicos.

Una envolvente de esfuerzos de falla es una representación en el plano de una curva que describe círculos de Mohr que representan un material en el que se ha presentado una falla en un plano determinado. Uniendo los puntos que describen dicho plano se forma una curva tangente a estos círculos de tal forma que si un círculo de Mohr se encuentra por debajo de ella, el material está en condiciones estables, y si la toca se ha alcanzado la resistencia máxima del material, es decir, la falla ha ocurrido en un plano determinado. Es imposible que un círculo de Mohr contenga puntos que se encuentren sobre la envolvente.

Nota: En las gráficas se está usando convención de esfuerzo negativo para tensión y positivo para compresión.

Como lo hace?

Coulomb propuso la relación, , que haría una aproximación lineal de la envolvente de esfuerzos. Siendo  llamado cohesión (c) y el ángulo de fricción interna, con coeficiente de fricción interna . El ángulo () del plano de fallo teórico respecto a la horizontal está dado por .El criterio de Mohr, por sí solo, permite envolventes con forma de curva, como es el caso exhibido por varios tipos de roca.

Formulación matemática con los tres esfuerzos principales

Donde

Siendo el esfuerzo de falla uniaxial teórico a tensión y el esfuerzo de falla uniaxial teórico a compresión. Las seis ecuaciones describen seis planos que se interceptan en seis ejes, formando una pirámide hexagonal. El hexágono resultante al cortar perpendicular al plano normal al eje hidrostático

() es irregular con sus seis lados de igual longitud. Cada punto de estos planos corresponde a un círculo de Mohr tangente a la envolvente de esfuerzos.

Para un esfuerzo normal de tensión como esfuerzo principal menor, experimentalmente, a partir de cierto punto, se ve que el plano de falla es perpendicular al eje de esfuerzos principales.

Sea el mínimo esfuerzo principal máximo tal que el círculo de Mohr al que pertenece que representa falla corte la envolvente de esfuerzo en un punto. El esfuerzo principal mínimo de dicho círculo

() indica el valor de todos los esfuerzos principales mínimos() que podrá tener cada círculo de Mohr para . Así, en tres dimensiones es representado por la pirámide hexagonal cortada por otra pirámide triangular con sus caras perpendiculares a los ejes de los esfuerzos. Los puntos contenidos dentro de este poliedro son puntos para los que este criterio indica que no hay falla.

El criterio de Mohr-Coulomb es la generalización del criterio de Tresca y el de Rankine, haciendo  y respectivamente.

Un modelo de dos dimensiones para los valores que pueden adquirir los esfuerzos principales, siendoel esfuerzo principal máximo a compresión, y el principal mínimo a tensión del círculo de Mohr correspondiente. La zona verde indica los puntos en los que este criterio indica que no hay falla.

Cuando deja de ser util?

Este criterio carece de exactitud, mas no de precisión al momento de analizar materiales que aunque cuyo estado de esfuerzos satisface la lógica del procedimiento, no poseen la cualidad de tener una mayor resistencia a esfuerzos de compresión que a tracción.

Teoría de Mohr Modificada

Principios Fundamentales

• Descripción: La teoría de Mohr Modificada es una adaptación del criterio de Coulomb-Mohr, diseñada para mejorar su precisión en el análisis de fallas. Se basa en tres condiciones que deben cumplirse para que un punto resista.
• Condiciones de Falla: Las condiciones son similares a las de Coulomb-Mohr, pero se expresan como:
  1. El esfuerzo normal máximo debe ser menor que la resistencia a la tracción:
     $${\sigma }_1<S_{ut}$$
  2. El esfuerzo normal mínimo debe ser mayor que la resistencia a la compresión:
     $${\sigma }_3>-S_{uc}$$
  3. La relación entre los esfuerzos se expresa como:
     $$n=\min \{\mid \frac{S_{ut}}{{\sigma }_1}\mid ,\mid \frac{S_{uc}}{{\sigma }_3}\mid ,\frac{1}{\mid {\sigma }_1\cdot \frac{S_{uc}-S_{ut}}{S_{uc}\cdot S_{ut}}-\frac{{\sigma }_3}{S_{uc}}\mid }\}$$

Aplicaciones

• Se utiliza para mejorar el análisis de fallas en materiales frágiles, proporcionando una representación más precisa del comportamiento bajo cargas complejas.

Comparación entre Ambas Teorías

Característica	Teoría de Coulomb-Mohr	Teoría de Mohr Modificada
Base	Criterio general para materiales frágiles	Adaptación del criterio de Coulomb-Mohr
Condiciones de Falla	Tres condiciones básicas	Tres condiciones mejoradas
Aplicaciones	Ingeniería geotécnica y estructural	Análisis más preciso en materiales frágiles
Cálculo del Factor de Seguridad	Simple y directo	Más detallado y específico

Ejercicio 1: Aplicación de la Teoría de Coulomb-Mohr

Datos:

• Resistencia a la tracción ($S_{ut}$): 150 MPa
• Resistencia a la compresión ($S_{uc}$): 300 MPa
• Esfuerzos principales:
  • ${\sigma }_1=120$ MPa (tensión)
  • ${\sigma }_3=-100$ MPa (compresión)

Objetivo:
Determinar si el material falla y calcular el factor de seguridad.Solución:

1. Verificar condiciones de falla:
   • Para ${\sigma }_1$:
     $${\sigma }_1<S_{ut}\Rightarrow 120<150\text{ Cumple }$$
   • Para ${\sigma }_3$:
     $${\sigma }_3>-S_{uc}\Rightarrow -100>-300\text{ Cumple }$$
2. Calcular el factor de seguridad:
   Utilizando la relación:
   $$FS=\frac{S_{ut}}{{\sigma }_1}=\frac{150}{120}=1.25$$
   Para compresión:
   $$F{S}_c=\frac{S_{uc}}{-{\sigma }_3}=\frac{300}{100}=3$$

Resultado: No hay falla en el material, con un factor de seguridad de 1.25 para tensión y 3 para compresión.

Ejercicio 2: Aplicación de la Teoría de Mohr Modificada

Datos:

• Resistencia a la tracción ($S_{ut}$): 200 MPa
• Resistencia a la compresión ($S_{uc}$): 400 MPa
• Esfuerzos principales:
  • ${\sigma }_1=180$ MPa (tensión)
  • ${\sigma }_2=-50$ MPa (compresión)

Objetivo:
Determinar si el material falla y calcular el factor de seguridad.Solución:

1. Verificar condiciones de falla:
   • Para ${\sigma }_1$:
     $${\sigma }_1<S_{ut}\Rightarrow 180<200\text{ Cumple }$$
   • Para ${\sigma }_2$:
     $${\sigma }_2>-S_{uc}\Rightarrow -50>-400\text{ Cumple }$$
2. Calcular el factor de seguridad usando la teoría modificada:
   Dado que tenemos un valor positivo y uno negativo, utilizamos la fórmula para el factor de seguridad:
   $$FS=\frac{S_{ut}}{{\sigma }_1}=\frac{200}{180}=1.11$$

Resultado: No hay falla en el material, con un factor de seguridad de 1.11. Estos ejercicios ilustran cómo aplicar las Teorías de Coulomb-Mohr y Mohr Modificada para evaluar la resistencia y seguridad de materiales frágiles bajo diferentes condiciones de carga.

bibliografía: https://youtu.be/JgwvQP8Pp2E 

Ley de Rotura de los Materiales Solidos. Jaime Martinez.
October 2007, Volume 1, pp 15-23.